-
Aplicați procedeul Gram-Schmidt pentru sistemul de vectori \(\{x_1,x_2,x_3\}\), unde
- \(x_1=(1,-2,2), x_2=(-1,0,-1),x_3=(5,-3,-7)\)
- \(x_1=(1,1,1,1),x_2=(3,3,-1,-1),x_3=(-2,0,6,8)\)
-
Fie \(L_1,L_2\) două subspații ale unui spațiu euclidian. Arătați:
- \(\left(L^\perp\right)^\perp = L\);
- Dacă \(L_1 \subset L_2\) atunci \(L_2^\perp \subset L_1^\perp\);
- \((L_1+L_2)^\perp=L_1^\perp \cap L_2^\perp\);
-
\((L_1 \cap L_2)^\perp = L_1^\perp + L_2^\perp\);
-
Găsiți o bază în complementul ortogonal al subspațiului generat de \(\{x_1,x_2,x_3\}\), unde \(x_1=(1,3,0,2),x_2=(3,7,-1,2),x_3=(2,4,-1,0)\}\).
-
Să se construiască un produs scalar pe \(\mathbb{R}_n[X]\) asftel încît baza \(1,X,\frac{X^2}{2!},\frac{X^3}{3!},\dots,\frac{X^n}{n!}\) să fie ortonormată.
-
Să se descompună vectorul \((5,2,-2,2)\) ca suma dintre unul din acoperirea liniară a vectorilor \((2,1,1,-1),(1,1,3,0)\) și unul din complementul ortogonal al acesteia.