-
Calculați valorile proprii și vectorii proprii corespunzători pentru:
$$ \left(\begin{array}{ccc} 4 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) $$$$\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & -3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 15 & 12 \end{array}\right) $$$$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right). $$ -
Determinați valorile proprii și vectorii proprii pentru operatorul de derivare pe \(K_n[X]\).
-
Arătați că operatorii de proiecție și simetrie sînt diagonalizabili (există o bază a spațiului formată din vectori proprii).
-
Arătați că un operator nilpotent (care satisface \(f^n=0\) pentru un \(n\) natural) nu are alte valori proprii decît \(0\).
-
Arătați că un operator liniar \(V \to V\) care comută cu toți operatorii este de forma \(\lambda Id_V\).