-
Fie \(V\) un spațiu vectorial și \(L_1\) un subspațiu propriu. Arătați că există un subspațiu \(L_2\) astfel încît \(V=L_1 \oplus L_2\). Este \(L_2\) unic?
-
Arătați că suma directă a sub-spațiilor vectoriale \(L_1\) și \(L_2\), generate de \(x_1=(2,3,11,5)\),\(x_2=(1,1,5,2)\), \(x_3=(0,1,1,1)\), respectiv de \(y_1=(2,1,3,2)\), \(y_2=(1,1,3,4)\),\(y_3=(5,2,6,2)\) este \(\mathbb{R}^4\). Găsiți descompunerea lui \((2,0,0,3)\) după aceste subspații.
-
Calculați rangul matricei
$$ \left(\begin{array}{rrrrr} 2 & 5 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 6 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & 0 & 4 & -9\end{array} \right)$$. -
Fie \(V\) un spațiu vectorial cu descompunerea \(V=L_1 \oplus L_2\). Arătați că:
-
aplicația care asociază oricărui vector \(x\) din \(V\), avînd decompunerea \(x=x_1+x_2\) cu \(x_i \in L_i\), pe \(x_2\) este aplicație liniară;
-
aplicația care asociază lui \(x\) pe \(x_1-x_2\) este aplicație liniară.
Determinați imaginea și nucleul aplicațiilor de mai sus.
-