-
Determinați tangenta și normala într-un punct regulat \(t\) precum și lungimea unui segment pentru curbele:
-
Elipsă - \(c:(0,2\pi) \to \mathbb{R}^2\), cu \(c(t)=\left(a \cdot cos(t), b \cdot sin(t)\right)\);
-
Hiperbolă - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(a \cdot ch(t),b \cdot sh(t) \right)\);
-
Parabolă - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(2pt^2,t\right)\);
-
Spirala lui Arhimede - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left( t\cdot cos(t), t\cdot sin(t) \right)\);
-
Spirala logaritmică - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left( e^t \cdot cos(t), e^t\cdot sin(t) \right)\);
-
Cicloidă - \(c:(0,2\pi) \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(r\cdot(t-sin(t)),r\cdot(1-cos(t))\right)\);
-
Hipocicloidă- \(c(t)=\left(\left(R-r\right)\cdot cos(t)+r \cdot cos\left(\frac{R-r}{r}t\right),\left(R-r\right)\cdot sin(t)-r \cdot sin\left(\frac{R-r}{r}t\right)\right)\);
-
Epicicloidă- \(c(t)=\left(\left(R+r\right)\cdot cos(t)-r \cdot cos\left(\frac{R+r}{r}t\right),\left(R+r\right)\cdot sin(t)-r \cdot sin\left(\frac{R+r}{r}t\right)\right)\); la acest punct și la precedentul determinați și intervalul de definiție al curbei.
-
„Vrăjitoarea” lui Agnesi- \(c:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\),\(c(t)=\left(t,\frac{8a^3}{t^2+4a^2}\right)\);
-
-
Fie curba \(c:(0,2\pi) \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(a\cdot cos^3(t),a\cdot sin^3(t)\right)\) (astroida). Determinați lungimea segmentului determinat de intersecția tangentei într-un punct regulat \(t\) cu axele.
-
Fie curba \(c(t)=\left(t,a\cdot ln\frac{a+\sqrt{a^2-t^2}}{t}-\sqrt{a^2-t^2}\right)\), \(t \in (-a^2,a^2)\). Arătați că pentru orice \(t\) lungimea segmentului determinat pe tangenta în \(t\) de intersecția cu axa \(Oy\) și de punctul de contact este constantă.
-
Calculați tangenta și planul normal pentru:
-
\(c(u)=\left(u^3-u^2-5,3u^2+1,2u^3-16\right)\) în \(u=2\).
-
\(c(u)=\left(u^4+u^2+1,4u^3+5u+2,u^4-u^3\right)\) în \(A=(3,-7,2)\).
-