Subspaţii vectoriale

Fie \(L_1\) subspaţiul generat de \(x_1,\dots,x_k\) şi \(L_2\) cel generat de \(y_1,\dots,y_l\). Determinaţi dimensiunea lui \(L_1,L_2\) şi cîte o bază în \(L_1 + L_2\) şi în \(L_1 \cap L_2\), unde

1. \(x_1 = (0,1,1,1), x_2=(1,1,1,2),x_3=(-2,0,1,1)\) şi \(y_1=(-1,3,2,-1),y_2=(1,1,0,-1)\).
2. \(x_1 = (2,-5,3,4), x_2 = (1,2,0,-7),x_3=(3,-6,2,5)\) şi \(y_1 = (2,0,-4,6),y_2=(1,1,1,1),y_3=(3,3,1,5)\).
3. \(x_1 = (2,1,0),x_2=(1,2,3),x_3 = (-5,-2,1)\) şi \(y_1 = (1,1,2), y_2 = (-1,3,0), y_3 = (2,0,3)\).

Scrieţi vectorul \(x=(1,0,1)\) ca suma \(x=z_1+z_2\) cu \(z_1 \in L_1\), \(z_2 \in L_2\), de la 1.3.

Pentru spaţiile de la exerciţiul 1. determinaţi cîte o matrice \(A\), astfel încît acestea se pot scrie \(\left\{x | A\cdot x = 0\right\}\).

Fie \(V\) un spațiu vectorial și \(L_1\) un subspațiu propriu. Arătați că există un subspațiu \(L_2\) astfel încît \(V=L_1 \oplus L_2\). Este \(L_2\) unic?

Arătați că suma directă a sub-spațiilor vectoriale \(L_1\) și \(L_2\), generate de \(x_1=(2,3,11,5)\),\(x_2=(1,1,5,2)\), \(x_3=(0,1,1,1)\), respectiv de \(y_1=(2,1,3,2)\), \(y_2=(1,1,3,4)\),\(y_3=(5,2,6,2)\) este \(\mathbb{R}^4\). Găsiți descompunerea lui \((2,0,0,3)\) după aceste subspații.

Fie \(L_1 = \langle\left\{(1,-2,1,1), (2,2,3,1),(3,8,8,1)\right\}\rangle\) şi \(L_2 = \left\{x \in \mathbb{R}^4 | A \cdot x =0 \right\}\) ,unde