- Reformulaţi exerciţiile 3 şi 4 de săptămîna trecută folosind noţiunile de la curs.
- Fie \(V\) un spaţiu vectorial şi \(\left\{v_1,v_2,v_3\right\} \subset V\) liniar-independenţi. Arătaţi că \(\left\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\right\}\) sînt liniar independenţi.
-
Fie \(K\) un corp, \(n >1\) și \(V=M_n(K)\).
a. Arătați că \(V_1 = \{ A \in V | A=A^t \}\) și \(V_2 = \{ A \in V | A = -A^t \}\) sînt subspații vectoriale ale lui \(V\) și determinați cîte o bază pentru ele.
b. Arătați că \(V_1 = \{A \in V | Tr(A)=0\}\) și \(V_2=\{A \in V | \exists \lambda \in K \text{ astfel încît } A=\lambda I_n \}\) sînt subspații vectoriale ale lui \(V\) și determinați cîte o bază.
Arătați că în cazurile a. și b., orice matrice \(A \in V\) se poate scrie în mod unic ca \(A=A_1+A_2\) cu \(A_i \in V_i\).
-
Fie \(F\) un corp finit. Arătați că numărul de elemente ale lui \(F\) este de forma \(p^n\), unde \(p\) este un număr prim.(Indicație: arătați mai întîi că \(F\) conține un subcorp cu \(p\) elemente).
-
Fie \(K\) un corp și \(V=\{P(X) \in K[X] | deg(P(X)) \leq n\}\). Arătați că \(\{1,1-X,1-X^2,\dots,1-X^n\}\) este bază în \(V\). Pentru \(n=6\) și \(P(X)=2X^6+3X^5+2X^4+X^3-X^2+2X+1\) calculați descompunerea lui \(P(X)\) în raport cu această bază.
-
Fie \(V\) spațiul definit la exercițiul precedent. Fie \(V_1=\{P(X) \in V | P(-X)=P(X)\}\) și \(V_2=\{P(X) \in V | P(-X)=-P(X)\}\) Găsiți cîte o bază în \(V_1\), respectiv \(V_2\) și arătați că orice polinom din \(P(X)=V\) se poate scrie în mod unic ca \(P_1(X)+P_2(X)\) cu \(P_i(X) \in V_i\), pentru \(i=1,2\).
-
Fie \(V\) un spațiu vectorial peste un corp \(K\). Fie \(V^*\) mulțimea funcților \(f:V \to K\), care satisfac \(f(ax+by)=af(x)+bf(y)\) pentru orice \(a,b \in K\) și orice \(x,y \in V\). Demonstrați că \(V^*\) este spațiu vectorial și determinați o bază.