Probleme 5

Determinați planul tangent, prima formă fundamentală și aplicația Gauss pentru:

1. \(r(s,t)=(c(s) +N(s) \cos t +B(s) \sin t)\) - suprafață canal (\(c\) este o curbă regulată, iar \(\{T,N,B\}\) este reperul său Frenet).

2. \(r(s,t)=(\phi(s) \cos t, \phi(s) \sin t, \psi(s))\) - suprafață de rotație.

3. \(r(s,t)=(s \cos t,s \sin t,kt)\) - elicoid minimal.

4. \(r(u,v)=(R \cos u \cos v, R \sin u \cos v, R\cos v)\) - sfera de rază \(R\).

5. \(r(u,v)=(av\cos u, bv\sin u,cv)\) - con.

Determinați imaginea aplicației Gauss pentru:

1. Elicoidul minimal;

2. Catenoid: \(r(u,v)=\left( a \text{cosh}\frac{u}{a}\cos v, a\text{cosh}\frac{u}{a}\sin v, u\right)\);

3. Hiperboloidul cu o pînză.

O suprafață are prima formă fundamentală \(du^2+(u^2+a^2)dv^2\).

1. Găsiți perimetrul triunghiului format de intersecțiile curbelor:

1. Determinați unghiurile acestui triunghi;

2. Determinați aria triunghiului format de intersecțiile curbelor

Fie \(S\) o suprafață cu proprietatea că toate normalele sale trec printr-un punct fix. Atunci \(S\) este o porțiune a unei sfere.

Arătați că dacă un plan taie o suprafață într-un punct, atunci este planul tangent la suprafață în acel punct.