-
Fie \(\mathcal{P}\) un spațiu proiectiv de ordin \(q\) și dimensiune \(n\). Calculați numărul de puncte, numărul de hiperplane și numărul de drepte din \(\mathcal{P}\).
-
Prin analogie cu planul lui Fano construiți un plan proiectiv cu \(13\) puncte.
-
Fie următoarea structură de incidență: punctele sale sînt punctele închiderii proiective a planului euclidian, dreptele sint:
a) Dreptele perpendiculare pe axa \(Ox\);
b) Dreptele paralele cu axa \(Ox\);
c) Dreptele de ecuație \(y=mx+n\) cu \(m < 0\);
d) Mulțimile
$$ y = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}(x-a)\tan\theta & y \geq 0 \\ (x-a)\tan\theta & y < 0\end{array}\right.$$pentru \(a \in \mathbb{R}\) și \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).Structura de incidență este următoarea : liniile de tipurile a), b) și c) care sint paralele se intersectează în punctele de la infinit respective. Două drepte de tip d) care nu se intersectează într-un punct propriu se intersectează în punctul de la infinit al “jumătăților superioare”.
Arătați că se obține un plan proiectiv în care nu este satisfăcută axioma lui Desargues.
-
Fie \(P=[x], Q=[y]\) și \(R=[z]\) trei puncte necoliniare dintr-un plan proiectiv \(\mathbb{P}(V)\). Fie \(P'=[y+az] \in QR, Q'=[x+by] \in PR\) și \(R'=[x+cy] \in PQ\). Atunci \(P',Q'\) și \(R'\) sînt coliniare dacă și numai dacă \(abc=-1\) (Menelaus)
-
Fie \(P=[x], Q=[y]\) și \(R=[z]\) trei puncte necoliniare dintr-un plan proiectiv \(\mathbb{P}(V)\). Fie \(P'=[y+az] \in QR, Q'=[x+by] \in PR\) și \(R'=[x+cy] \in PQ\). Atunci \(PP',QQ'\) și \(RR'\) au un punct un comun dacă și numai dacă \(abc=1\) (Ceva)