Geometrie euclidiană și convexitate

Fie triunghiul $\Delta ABC$. Arătați că centrul de greutate, centrul cercului circumscris și ortocentrul sînt coliniare.

Fie dreapta $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-1}{1}$.

a) Determinați simetria ortogonală de axă $d$;

b) Determinați rotația de axă $d$ și unghi $\frac{\pi}{3}$.

Fie $V$ un spațiu afin real. O submulțime $M$ se numește convexă dacă o dată cu două puncte $A,B$ conține întregul segment $\left[AB\right]=\{tA+(1-t)B| 0 \leq t \leq 1\}$. Să se arate că dacă $N$ este o mulțime finită cu $m$ elemente într-un spațiu de dimensiune $n \leq m-2$, atunci există o partiție $N=N_1 \cup N_2$, $N_1 \cap N_2 = \emptyset$ astfel încît $conv(N_1) \cap conv(N_2) \neq \emptyset$ (Teorema lui Radon).

(Teorema lui Helly) Fie $M_1,\dots, M_r$ submulțimi convexe ale lui $\mathbb{R}^n, r \geq n+1$. Dacă intersecția a oricare $n+1$ este nevidă, atunci intersecția tuturor este nevidă.