-
Fie triunghiul \(\Delta ABC\). Arătați că centrul de greutate, centrul cercului circumscris și ortocentrul sînt coliniare.
-
Fie dreapta \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-1}{1}\).
a) Determinați simetria ortogonală de axă \(d\);
b) Determinați rotația de axă \(d\) și unghi \(\frac{\pi}{3}\).
-
Fie \(V\) un spațiu afin real. O submulțime \(M\) se numește convexă dacă o dată cu două puncte \(A,B\) conține întregul segment \(\left[AB\right]=\{tA+(1-t)B| 0 \leq t \leq 1\}\). Să se arate că dacă \(N\) este o mulțime finită cu \(m\) elemente într-un spațiu de dimensiune \(n \leq m-2\), atunci există o partiție \(N=N_1 \cup N_2\), \(N_1 \cap N_2 = \emptyset\) astfel încît \(conv(N_1) \cap conv(N_2) \neq \emptyset\) (Teorema lui Radon).
-
(Teorema lui Helly) Fie \(M_1,\dots, M_r\) submulțimi convexe ale lui \(\mathbb{R}^n, r \geq n+1\). Dacă intersecția a oricare \(n+1\) este nevidă, atunci intersecția tuturor este nevidă.