Geometrie euclidiană și convexitate-II

Convexitate-Probleme recapitulative

1. Fie \(X\) un spațiu afin, \(A \subset X\) o submulțime nevidă, convexă și \(L\) un subspațiu afin disjunct față de \(A\). Atunci există un hiperplan \(H\) care conține \(L\) și este disjunct față de \(A\) (Hahn-Banach).

2. Fie \(M\) o submulțime într-un spațiu afin de dimensiune \(n\). Atunci

   $$conv(M)=\{\sum_{i=1}^{n+1} a_iA_i | A_i \in M, a_i \geq 0, \sum_{i=1}^{n+1}a_i = 1\}$$
   (Teorema lui Caratheodory).

3. \(^*\)(Lema lui Kuratowski-Knaster-Mazurkiewicz) Fie \(\Delta_n\) un simplex \((n-1)-\)dimensional cu \(n\) vîrfuri \(A_1,\dots,A_n\). Fie \(C_1,\dots,C_n\) submulțimi închise astfel încît pentru orice \(I \subset \{1,\dots,n\}\),

   $$conv(\{A_i|i \in I\}) \subset \bigcup_{i \in I } C_i.$$
   Atunci
   $$ \bigcap_{i=1}^n C_i \neq \emptyset.$$

Geometrie euclidiană

1. Arătați că inversiunile păstrează unghiul a două drepte.

2. Demonstrați că intr-un patrulater inscriptibil produsul lungimilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse;

3. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci

   $$ \frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD + BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot DA}.$$

4. Să se arate că într-un triunghi mijloacele laturilor, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor care unesc vîrfurile cu ortocentrul sînt conciclice (pe cercul lui Feuerbach).

5. Arătați că cercul lui Feuerbach este imaginea cercului circumscris printr-o inversiune de centru \(H\) și putere \(-4R^2\cos A\cos B\cos C\).

---