Geometrie euclidiană și convexitate-II

Convexitate-Probleme recapitulative

1. Fie $X$ un spațiu afin, $A \subset X$ o submulțime nevidă, convexă și $L$ un subspațiu afin disjunct față de $A$. Atunci există un hiperplan $H$ care conține $L$ și este disjunct față de $A$ (Hahn-Banach).

2. Fie $M$ o submulțime într-un spațiu afin de dimensiune $n$. Atunci

   $$conv(M)=\{\sum_{i=1}^{n+1} a_iA_i | A_i \in M, a_i \geq 0, \sum_{i=1}^{n+1}a_i = 1\}$$
   (Teorema lui Caratheodory).

3. $^*$(Lema lui Kuratowski-Knaster-Mazurkiewicz) Fie $\Delta_n$ un simplex $(n-1)-$dimensional cu $n$ vîrfuri $A_1,\dots,A_n$. Fie $C_1,\dots,C_n$ submulțimi închise astfel încît pentru orice $I \subset \{1,\dots,n\}$,

   $$conv(\{A_i|i \in I\}) \subset \bigcup_{i \in I } C_i.$$
   Atunci
   $$\bigcap_{i=1}^n C_i \neq \emptyset.$$

Geometrie euclidiană

1. Arătați că inversiunile păstrează unghiul a două drepte.

2. Demonstrați că intr-un patrulater inscriptibil produsul lungimilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse;

3. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci

   $$\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD + BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot DA}.$$

4. Să se arate că într-un triunghi mijloacele laturilor, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor care unesc vîrfurile cu ortocentrul sînt conciclice (pe cercul lui Feuerbach).

5. Arătați că cercul lui Feuerbach este imaginea cercului circumscris printr-o inversiune de centru $H$ și putere $-4R^2\cos A\cos B\cos C$.

---