Geometrie afină-Probleme recapitulative

Arătați că orice două dilatări avînd același centru comută.

Folosind rezultatul precedent demonstrați :

Fie \(A,B,C\) trei puncte pe o dreaptă \(d\) și \(A',B',C'\) pe altă dreaptă \(d'\). Dacă \(AB' || BA'\) și \(BC'||CB'\) atunci \(AC'||CA'\).

Folosind de asemenea exercițiul 1, demonstrați:

Fie \(\Delta ABC\) și \(\Delta A'B'C'\) astfel încît laturile corespunzătoare sînt paralele. Atunci \(AA'\), \(BB'\) și \(CC'\) sînt concurente sau paralele.

Fie \(\Delta ABC\) și \(P\) un punct. Fie \(A',B',C'\) picioarele cevienelor prin \(P\) și \(A'',B'',C''\) simetricele lor prin mijlocul segmentelor pe care se află. Atunci \(AA'' \cap BB'' \cap CC'' = \{Q\}\).

(Van Aubel) Fie \(\Delta ABC\), fie \(O\) un punct și \(\{\alpha\}=AO \cap BC\), \(\{\beta\}=BO \cap AC\) și \(\{\gamma\}=CO \cap AB\). Atunci