Curbura curbelor plane

1. Elipsă - \(c:(0,2\pi) \to \mathbb{R}^2\), cu \(c(t)=\left(a \cdot cos(t), b \cdot sin(t)\right)\);
2. Hiperbolă - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(a \cdot ch(t),b \cdot sh(t) \right)\);
3. Parabolă - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(2pt^2,t\right)\);
4. Spirala lui Arhimede - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left( t\cdot cos(t), t\cdot sin(t) \right)\);
5. Spirala logaritmică - \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left( e^t \cdot cos(t), e^t\cdot sin(t) \right)\);
6. Cicloidă - \(c:(0,2\pi) \to \mathbb{R}^2\), \(c(t)=\left(r\cdot(t-sin(t)),r\cdot(1-cos(t))\right)\);
7. Hipocicloidă- \(c(t)=\left(\left(R-r\right)\cdot cos(t)+r \cdot cos\left(\frac{R-r}{r}t\right),\left(R-r\right)\cdot sin(t)-r \cdot sin\left(\frac{R-r}{r}t\right)\right)\);
8. Epicicloidă- \(c(t)=\left(\left(R+r\right)\cdot cos(t)-r \cdot cos\left(\frac{R+r}{r}t\right),\left(R+r\right)\cdot sin(t)-r \cdot sin\left(\frac{R+r}{r}t\right)\right)\); la acest punct și la precedentul determinați și intervalul de definiție al curbei.

Arătați că dacă toate normalele la o curbă plană trec printr-un punct fix, atunci curba este conținută într-un cerc.

Arătați că dacă toate dreptele tangente la o curbă plană trec printr-un fix, atunci curba este un segment de dreaptă.

Fie \(c:I \to \mathbb{R}^2\) o curbă regulată cu a cărei curbură nu se anulează în nici un punct. Fie curba

1. Arătați că tangenta la evolută în \(t\) este normala lui \(c\) în \(t\).
2. Fie două puncte \(t_1,t_2 \in I\). Arătați că atunci cînd \(t_1\) se apropie de \(t_2\), punctul de intersecție al normalelor tinde la un punct de pe curbă.