-
Determinați reperul Frenet, planele osculator, normal și rectifiant, curbura și torsiunea pentru:
- Elice - \(c:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\), cu \(c(t)=\left(a \cdot cos(t), a \cdot sin(t), bt\right)\);
- \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\), \(c(t)=\left(t^2,1-t,t^3 \right)\);
- \(c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\), \((t)=\left(e^t sin(t),e^t cos(t),e^t\right)\);
- \(c: I \to \mathbb{R}^3\), \(c(t)=\left( cos^3(t), sin^3(t), cos(2t) \right)\);
-
Fie \(c:I \to \mathbb{R}^3\). Arătați:
- Curbura în \(t\) este
$$ k(t)=\frac{||c(t)'\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}$$
- Torsiunea în \(t\) este
$$ \tau(t)=\frac{\langle c'(t)\times c''(t),c'''(t)\rangle}{||c'(t) \times c''(t) ||^2}$$
- Curbura în \(t\) este
-
Arătați că dacă toate planele osculatoare ale unei curbe sînt concurente, atunci curba este plană.
-
Arătați că următoarele afirmații sînt echivalente:
- Toate tangentele fac un unghi constant cu o direcție dată;
- Normalele sînt perpendiculare pe o direcție dată;
- Binormalele fac un unghi constant cu o direcție dată;
- Raportul dintre curbură și torsiune este constant. Arătați că elicea satisface aceste condiții.
-
Fie \(c(s)\) o curbă parametrizată după lungimea arcului cu \(k(s) \neq 0\) și \(\tau \neq 0\). Presupunem că \( \rho^2+(\rho'\sigma)^2=a^2=const.\), unde \(\rho =1/k\) și \(\sigma =1/\tau\). Arătați că imaginea curbei se află pe o sferă.