Conice

Fie \(\mathcal{P}\) o parabolă. Să se arate:

a) Locul geometric al proiecților focarului pe tangente este tangenta în vîrf;

b) Locul geometric al simetricelor focarului față de tangente este directoarea;

c) Directoarea unei parabole înscrise într-un triunghi trece prin ortocentrul triunghiului;

d) Tangenta într-un punct \(M\) al parabolei este bisectoarea unghiului format de paralela la axă prin \(M\) și dreapta care unește focarul cu \(M\);

e) Directoarea este locul geometric al punctelor de unde se pot duce tangente perpendiculare la parabolă.

Să se arate:

a) O secantă arbitrară determină segmente egale între hiperbolă și asimptote;

b) Mijlocul segmentului determinat de intersecția unei tangente cu asimptotele este punctul de contact;

c) Aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei și o tangentă mobilă este constantă;

d) Produsul distanțelor unui punct mobil de pe hiperbolă la asimptote este constant;

e) Toate hiperbolele echilatere circumscrise unui triunghi trec prin ortocentru. Centrele acestor hiperbole se află pe cercul lui Feuerbach al triunghiului.

Fie \(\mathcal{E}\) o elipsă de focare \(F_1,F_2\). Să se arate:

a) Normala într-un punct \(P\) este bisectoarea unghiului format de \(PF_1\) și \(PF_2\);

b) Mijloacele tuturor corzilor paralele cu o direcție dată se află pe un diametru;

c) Dacă elipsa are ecuația

d) Locul geometric al simetricelor lui \(F_1\) față de tangente este cercul cu centru în \(F_2\) de rază \(2a\) (cercul director);

e) Locul geometric al proiecților lui \(F_1\) pe tangente este un cerc concentric de rază \(a\) (cercul principal).